1. Ünite: Diferansiyel ve Fark Denklemleri
Diferansiyel denklemler, bir fonksiyonun kendisi ve türevleri arasındaki ilişkiyi modelleyerek fiziksel veya ekonomik sistemlerdeki değişimleri açıklar. Kitapta birinci mertebeden adi diferansiyel denklemler (tam, ayrılabilir, homojen) ve çözümleri ele alınmaktadır. Ayrıca, sürekli zaman yerine kesikli zamanı (discrete time) kullanan “Fark Denklemleri”ne odaklanılır. Fark denklemleri, yıllık finansal veriler veya nüfus sayımları gibi belirli periyotlarla değişen değerlerin analizinde kritik rol oynar. İleri ve geri fark operatörleri yardımıyla, bir sistemin zamana bağlı yörüngesi sayısal olarak hesaplanabilir.
Örnek: Bir şehrin nüfus artış hızı mevcut nüfusla orantılıysa, bu durum dN/dt=kN diferansiyel denklemiyle modellenir. Çözüm sonucunda elde edilen formül ile 10 yıl sonraki nüfus tahmini yapılabilir.
2. Ünite: Diziler ve Seriler
Diziler, sayıların belirli bir kurala göre sıralandığı pozitif doğal sayılar kümesinden tanımlı fonksiyonlardır. Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki fark sabitken, geometrik dizilerde bu oran sabittir. Seriler ise bir dizinin terimlerinin sonsuz toplamını ifade eder. Ünitede yakınsaklık (convergent) ve ıraksaklık (divergent) kavramları üzerinde durulmuş, özellikle geometrik seri toplamının finansal hesaplamalardaki önemi vurgulanmıştır. Ayrıca doğadaki estetik uyumu temsil eden Fibonacci dizisi ve altın oran (1,618) arasındaki matematiksel ilişki, dizilerin ilginç bir uygulaması olarak sunulur.
Örnek: Bir yatırımcı her ay önceki aya göre %10 daha fazla para biriktiriyorsa, aylık tasarruf miktarları bir geometrik dizi oluşturur: 100, 110, 121, 133.1…
3. Ünite: Çok Değişkenli Fonksiyonlar
Gerçek hayat problemleri genellikle tek bir faktöre bağlı değildir. Bu ünitede birden fazla bağımsız değişkene sahip fonksiyonlar (z=f(x,y)) ve bunların üç boyutlu koordinat sistemindeki gösterimleri ele alınır. İktisadi uygulamalar olarak, milli gelir ile harcama arasındaki ilişkiyi kuran “Tüketim Fonksiyonu” ve üretim faktörleri (sermaye ve emek) ile çıktı arasındaki bağı kuran “Cobb-Douglas Üretim Fonksiyonu” incelenmektedir. Ayrıca “ölçeğe göre getiri” kavramıyla, girdilerdeki (emek, sermaye) artışın üretim miktarına etkisi (artan, azalan veya sabit) analiz edilir.
Örnek: Bir işletmenin toplam maliyeti hem işçi sayısına (x) hem de kullanılan hammadde miktarına (y) bağlıysa, bu maliyet iki değişkenli bir fonksiyonla ifade edilir.
4. Ünite: Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Ekstremum
Çok değişkenli fonksiyonların maksimum veya minimum noktalarını bulmak için kısmi türev (partial derivative) kavramı kullanılır. Kısmi türev alırken, türevi alınan değişken dışındakiler sabit tutulur. Ünitede sermayenin veya emeğin “marjinal üretkenliği” bu türevler yardımıyla hesaplanır. Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi için Hessian matrisi ve ikinci türev testleri uygulanır. Ayrıca “Lagrange Çarpanı” yöntemiyle, belirli bir kısıt (örneğin sınırlı bir bütçe) altında amaç fonksiyonunu (örneğin üretim miktarını) maksimize etme yolları gösterilir.
Örnek: Bir fabrikanın belirli bir toplam bütçe kısıtı altında, kârını en yüksek seviyeye çıkaracak ideal makine ve personel sayısını belirlemesi bu ünitenin konusudur.
5. Ünite: Matris ve Vektörler
Matrisler, sayıları satır ve sütunlar halinde organize eden tablolardır ve karmaşık doğrusal sistemlerin çözümünde temel araçtır. Ünitede matris çeşitleri (birim, sıfır, simetrik, üçgen matrisler), transpoze işlemi ve matris cebri (toplama, çarpma) tanımlanır. Matris çarpımı için boyut uyumu şartı ve yer değiştirme özelliğinin olmaması vurgulanır. Ayrıca kare matrisler için determinant hesabı (Sarrus yöntemi) ve matrisin tersi (invers) kavramları ele alınır. Determinantı sıfır olan matrislerin (tekil matris) tersinin olmadığı ve matrislerin “rank”ının doğrusal bağımsızlık derecesini gösterdiği açıklanır.
Örnek: Bir market zincirinin 5 farklı şubesindeki 10 farklı ürünün stok miktarları bir (5×10) matris ile tablo şeklinde yönetilebilir.
6. Ünite: Doğrusal Denklem Sistemi ve Çözüm Yöntemleri
Doğrusal denklem sistemleri, birden fazla bilinmeyenin olduğu problemleri matris formunda (AX=B) ifade etmek ve çözmek için kullanılır. Bu ünitede Gauss Eliminasyonu (yok etme), Gauss-Jordan (birim matrise benzetme) ve Ters Matris yöntemleri anlatılır. Sistemlerin tek çözüm, sonsuz çözüm veya çözümsüzlük durumları matrislerin rankı ve determinantı ile ilişkilendirilir. Bu yöntemler, işletmelerde kaynak dağıtımı, üretim kapasite planlaması ve finansal portföy analizlerinin matematiksel altyapısını oluşturur.
Örnek: Bir firmanın üç farklı hammaddeyi kullanarak ürettiği iki ürün için stok kısıtlarını içeren denklemler, matris yöntemleriyle çözülerek hangi üründen ne kadar üretilmesi gerektiği saptanabilir.
7. Ünite: Girdi Çıktı Analizi
Girdi-Çıktı analizi, Nobel ödüllü iktisatçı Wassily Leontief tarafından geliştirilen ve ekonomideki sektörler arası karşılıklı bağımlılığı inceleyen bir modeldir. Bir sektörün çıktısı, diğer sektörlerin girdisi veya son tüketici talebi olarak kullanılır. Ünitede “Teknoloji Matrisi” oluşturulması ve sektörler arası mal akışının modellenmesi incelenir. “Leontief Ters Matrisi” yardımıyla, dış taleplerdeki (bağımsız talep) bir değişimin, ekonomideki tüm sektörlerin toplam üretim miktarlarını nasıl etkileyeceği denge koşulları altında hesaplanır.
Örnek: Enerji fiyatlarındaki bir artışın; ulaşım, gıda ve inşaat sektörlerindeki üretim maliyetlerini zincirleme olarak nasıl etkileyeceği bu analizle saptanabilir.
8. Ünite: Doğrusal Programlama
Doğrusal Programlama (DP), kısıtlı kaynaklar altında (zaman, bütçe, yer vb.) belirli bir amacı (kâr maksimizasyonu veya maliyet minimizasyonu) gerçekleştirmek için kullanılan matematiksel modelleme yöntemidir. Problemin formülasyonunda; karar değişkenleri, amaç fonksiyonu ve doğrusal kısıtlar (eşitsizlikler) tanımlanır. İki değişkenli problemler için “Grafik Yöntem” kullanılarak uygun çözüm bölgesi ve optimum nokta saptanır. Bu teknik, yöneylem araştırmasının en temel araçlarından biri olup operasyonel verimliliği artırmak için vazgeçilmezdir.
Örnek: Bir mobilya atölyesinin elindeki sınırlı tahta ve işçilik saatiyle, masa ve sandalye üretiminden en yüksek kârı elde edeceği üretim miktarını belirlemesi tipik bir DP problemidir.